\begin{exo}
	\noindent {\bf 6.} On cherche {\`a} d{\'e}terminer les matrices $X$ qui
	commutent avec la matrice
	$$
	A = \left({\begin{array}{ccc}
		2&0&4\\
		3&-4&12\\
		1&-2&5
	\end{array}}\right).
	$$
	- Montrer que les matrices $X$ qui commutent avec $A$ forment un sous-espace
	vectoriel de ${\cal M}_n(\RR)$.\\
	- Trouver une matrice diagonale $D$ et une matrice inversible $P$ telles que
	$P^{-1}AP=D$.\\
	- D{\'e}terminer les matrices $Y$ qui commutent avec $D$ et en d{\'e}duire celles
	qui commutent avec $A$.\\

\end{exo}
%=============

\begin{exo}
	Soit $A\in {\cal M}_n(\CC)$ une matrice nilpotente, c'est-{\`a}-dire qu'il
	existe $p\in \NN^*$ tel que $A^p=0$. Montrer que $0$ est l'unique valeur propre de
	$A$. La r{\'e}ciproque est-elle vraie?\\

\end{exo}
%=============

\begin{exo}
	Soit $A\in {\cal M}_n(\CC)$. Montrer que le
	d{\'e}terminant de $A$ est {\'e}gal au produit de ses valeurs propres et que sa
	trace est {\'e}gale {\`a} la somme de ses valeurs propres.\\
	\begin{comment}
	Soit $A\in {\cal M}_2(\R)$ sym{\'e}trique de d{\'e}terminant strictement positif.
	Montrer que, si un {\'e}l{\'e}ment sur la diagonale est positif (resp. n{\'e}gatif),
	alors les deux valeurs propres sont strictement positifs (resp. strictement
	n{\'e}gatifs). Que peut-on dire si $A\in {\cal M}_n(\R), n>2$?\\
	\end{comment}

\end{exo}
%=============

\begin{exo}
	Soient $A,B\in {\cal M}_n(\CC)$. Montrer que $AB$ et
	$BA$ admettent les m{\^e}mes valeurs propres.\\

\end{exo}
%=============
